• 集合运算
  • 并 Union $\cup$
  • 差 Difference $-$
  • 交 Intersection $\cap$
  • 笛卡尔积 Cartesian Product $\times$
• 关系运算
  • 记号
  • 选择 $\sigma$
  • 投影 $\Pi$
  • 连接 $\Join$
    • 常用的连接运算
  • 除 $\div$
    • 例子

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集合运算

• 参与运算的关系具有相同的目
• 相应的属性取自同一个域

并 Union $\cup$

$$R \cup S = \{t | t \isin R \vee t \isin S\}$$

差 Difference $-$

$$R - S = \{t | t \isin R \wedge t \notin S\}$$

交 Intersection $\cap$

$$\begin{aligned} R \cap S &= \{t | t \isin R \wedge t \isin S\} \\ R \cap S &= R - (R - S) \end{aligned}$$

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笛卡尔积 Cartesian Product $\times$

• R: n 目关系，$k_1$ 个元组
• S: m 目关系，$k_2$ 个元组

$$R \times S = \{ \mathop{t_r t_s}\limits^{\frown} | t_r \isin R \wedge t_s \isin S \}$$

结果有 $m + n$ 列和 $k_1 \times k_2$ 行。

关系运算

结果仍是表

记号

• $R$
• $t \isin R$
• $t[A_i]$

设关系模式为 $R(A_1, A_2, ..., A_n)$，它的一个关系设为 $R$， $t \isin R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一个元组，$t[A_i]$ 则表示元组 $t$ 中相应对于属性 $A_i$ 的一个分量。

• $A$
• $t[A]$
• $\overline{A}$

$A$ 是属性列（属性组），$t[A]$ 是元素 $t$ 在 $A$ 上各个分量的集合， $\overline{A}$ 是去掉某一列以外其他的列组成的属性组。

• $\mathop{t_r t_s}\limits^{\frown}$

原组的连接。

• 象集 Images Set $Z_x$

给定一个关系 $R(X, Z)$，$X$ 和 $Z$ 为属性组， 当 $t[X] = x$ 时，$x$ 在 $R$ 中的象集为

$$Z_x = \{t[Z] | t \isin R, t[X] = x\}$$

表示 $R$ 中属性组 $X$ 上值为 $x$ 的各个原组在 $Z$ 上分量的集合。

选择 $\sigma$

$$\sigma_{Sdept='IS'}(Student)$$

投影 $\Pi$

$$\Pi_{Sname, Sdept}(Student)$$

连接 $\Join$

$$\begin{aligned} &R \underset{A \theta B}\Join S =\\ &\{ \mathop{t_r t_s}\limits^{\frown} | t_r \isin R \wedge t_s \isin S \wedge t_r[A] \theta t_s[B] \} \end{aligned}$$

常用的连接运算

• 等值连接：上面 $\theta$ 定义为 $=$
• 自然连接：特殊的等值连接，在结果中把重复的属性列去掉
• 外连接：对于关系 $R$ 中有而关系 $S$ 中没有的元素， 外连接会创建对应的原组，将空缺设置为 NULL， 外连接分为左外连接、右外连接。

除 $\div$

$$R \div S = \{t_r[X] | t_r \isin R \wedge \Pi_Y(S) \subseteq Y_x\}$$

其中 $Y_x$ 是 $x$ 在 $R$ 中的象集，$x = t_r[X]$。

例子

$R$：

A	B	C
a1	b1	c2
a2	b3	c7
a3	b4	c6
a1	b2	c3
a4	b6	c6
a2	b2	c3
a1	b2	c1

$S$：

B	C	D
b1	c2	d1
b2	c1	d1
b2	c3	d2

$R \div S$：

A
a1

步骤：

1. 关系 $R$ 中 $A$ 可以取 4 个值
   • $a1$ 在 $R$ 上的象集是 $\{(b1, c2), (b2, c3), (b2, c1)\}$
   • $a2$ 在 $R$ 上的象集是 $\{(b3, c7), (b2, c3)\}$
   • $a3$ 在 $R$ 上的象集是 $\{(b4, c6)\}$
   • $a4$ 在 $R$ 上的象集是 $\{(b6, c6)\}$
2. $S$ 在 $(B, C)$ 上的投影为 $\{(b1 c2), (b2, c1), (b2, c3)\}$ 只有 $a1$ 的象集包含在了这之中，所以 $R \div S = \{a1\}$

思想：包含

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